lunes, 14 de diciembre de 2015

El operador de Hodge star, para cerrar el año

Estimados profesores y estudiantes,

Tengo el gusto de invitarlos a la charla de cierre por este año del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 
Los esperamos. 

Título: The Hodge star operator, an introduction
Expositor: Stephen Andrea
Martes, 15 de diciembre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.

lunes, 7 de diciembre de 2015

Esta semana, propiedades aditivas de grupos multiplicativos de índice finito en cuerpos

Estimados profesores y estudiantes,

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 
Los esperamos. 

Título: Propiedades aditivas de grupos multiplicativos de índice finito en cuerpos
Expositor: Pedro Berrizbeitia
Martes, 08 de diciembre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.


Resumen: 

Sea m>1 un entero. Con la excepción de a lo sumo un número finito de primos p, la ecuación x^m+y^m\equiv t \bmod p tiene soluciones enteras x y y para todo entero t. Este problema es uno clásico de la Teoría de Números. De hecho, si denotamos por N_{p,t} al número de soluciones  (x \pmod p , y \pmod p) de la ecuación, entonces |N_{p,t} - p| = O(\sqrt p).

El problema análogo para cuerpos infinitos o más generales es el siguiente: Sea  G un grupo multiplicativo de índice finito in F^*, el grupo de los elementos invertibles del cuerpo  F, entonces, como es el conjunto G + G, el conjunto de todas las posibles sumas de dos elementos de  G ? En particular, cuando se cumple que  G+G = F?

La primera publicación sobre el tema apareció en 1989, cuando Leep y Shapiro dieron una respuesta positiva a la pregunta cuando el índice de  G in F^* es 3. Esto es, probaron que G+G=F, excepto por una corta lista de cuerpos finitos excepcionales. Conjeturaron que el resultado era cierto en el caso de índice 5. Admitieron no poder demostrarlo ni siquiera para el caso de F=\mathbb{Q}, el cuerpo de los números racionales. 


En la charla probaremos que si G tiene índice finito en \mathbb{Q}^*, entonces G-G = \mathbb{Q}, es decir, que todo racional puede escribirse como la diferencia de dos elementos de G. La demostración es una hermosa aplicación del Teorema de Van de Waerden de la progresión aritmética, que enunciaremos sin demostración.
 
 Resultados más generales de la Teoría de Ramsey permiten probar el mismo resultado para cualquier cuerpo infinito, y hasta para cierto tipo de anillos. Discutiremos brevemente estos resultados más generales y sus consecuencias.
  
También discutiremos el comportamiento de G+G, de G+G+G, etc. De hecho, daremos un esquema de la solución de una conjetura propuesta en 1992 por Bergelson y Shapiro, sobre un problema aditivo "extremal", y explicaremos un resultado de Florian Luca sobre el comportamiento de G_n+G_n, para una sucesión especifíca de subgrupos de índice  n\in \mathbb{Q}^*.


lunes, 30 de noviembre de 2015

Grupos, Álgebras y Codificación, en el seminario

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 
Los esperamos. 

Título: Grupos, Álgebras y Codificación
Expositor: Ricardo Franquiz
Martes, 01 de diciembre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.

Resumen:
 
Una sencilla noción de la definición de código puede ser la siguiente:
 
  "Un Código es un sistema de reglas que permite convertir una información, que se encuentra en un formato, en otra representación"
 
Un ejemplo de esto es el lenguaje, que es lo que permite a una persona comunicar lo que ve, oye, siente  o cree (una información) a otras personas.
 
Detrás de esta idea tan sencilla se encuentra la noción de álgebras de grupo, tema estudiado en el seminario este trimestre. Un código se identifica con un ideal en algún álgebra de grupo y la presente charla mostrará cómo encontrar códigos, es decir, ideales a izquierda en álgebras de grupo para ciertos grupos diedrales.
 
Bibliografía: S. Assuena  and C. Polcino Milies, Good Codes From Dihedral Groups. (http://arxiv.org/abs/1506.03303)
 

lunes, 23 de noviembre de 2015

Esta semana no tendremos seminario

A todos los asistentes al seminario,

Esta semana no tendremos seminario. Los espero en la siguiente sesión.


viernes, 13 de noviembre de 2015

Plano proyectivo y grupos finito, en el seminario

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 
Los esperamos. 


Titulo: Plano proyectivo y grupos finitos.
Expositor: Alberto Mendoza 
Martes, 17 de noviembre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.

Resumen: 
En la charla se dará una breve introducción al plano proyectivo sobre los reales y el grupo de simetrías que le corresponde. 

A continuación se hablará brevemente sobre planos proyectivos sobre cuerpos finitos y sus grupos de simetría.

Notas de la charla del Profesor Stephen Andrea

A todos los que están siguiendo nuestro seminario. 
Les dejo las notas del profesor Stephen Andrea. El profesor dictó la primera charla  de este trimestre, que se realizó 22 de septiembre, aquí están las notas que dejó para nosotros el profesor "Exterior Algebra and the Poincare Lemma". 

Que las disfruten. 


viernes, 6 de noviembre de 2015

Los Octoniones: Otro fascinante objeto con el cual el álgebra y la geometría se dan la mano.

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 
Los esperamos. 


Titulo: Los Octoniones: Otro fascinante objeto con el cual el álgebra y la geometría se dan la mano.
Expositor: Jean Pierre Veiro 
Martes, 10 de noviembre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.



Introducción a la charla: 

Los Octoniones: Otro fascinante objeto con el cual el álgebra y la geometría se dan la mano.

Las álgebras de división normadas son un concepto relativamente reciente en la literatura matemática. En el año 1843, un acto célebre de vandalismo matemático tuvo lugar en Dublin cuando William Hamilton talló en un puente las relaciones fundamentales que determinan los elementos de la base para los cuaterniones. Ellas son i^2=j^2=k^2=-1 e ijk=-1. Pocos meses después, John Graves, amigo cercano de Hamilton, descubrió que la estructura algebraica obtenida en los cuaterniones se podía generalizar a un álgebra con ocho elementos en su base; llamada por él “octaves”. Mientras Graves esperaba a que sus resultados fueran publicados, en 1845, Arthur Cayley publicó un artículo titulado “On Jacobi’s elliptic functions” donde incluyó en el apéndice una descripción de los octoniones. Por esta razón, durante mucho tiempo, el álgebra en cuestión se ha conocido como los números de Cayley. Sin embargo, el tiempo ha honrado, gracias a una nota enviada por Hamilton, el descubrimiento de Graves y ahora llamamos a esta álgebra por su nombre original: los octoniones.

Los octoniones son un álgebra de división normada, sobre los reales, de dimensión ocho. El notable Teorema de Hurwitz establece que las únicas álgebras de división normadas (sobre los números reales), salvo isomorfismo, son: los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones. Una propiedad notable de los octoniones es que, además de no ser conmutativos, tampoco son asociativos.

Existe un proceso que toma un álgebra y genera otra álgebra nueva cuya dimensión es el doble de la anterior; este proceso es conocido como el proceso de Cayley-Dickson. Considerando este proceso, se puede dar una demostración sencilla del Teorema de Hurwitz.

El estado del arte en la física de altas energías, principalmente en la teoría de supermembranas, gira en torno a su deseada formulación en términos de octoniones. La verdad es que los octoniones aparecieron en este escenario indirectamente. La estrella principal, aunque está íntimamente relacionada con los octoniones, es el grupo de Lie G2. Es conocida la clasificación de los grupos de Lie (simples) en cuatro familias y, de manera sorprendente, cinco grupos de Lie excepcionales. G2, el grupo de Lie excepcional más pequeño, es el grupo de automorfismos de los octoniones. Más aún, los otros cuatro grupos de Lie excepcionales también están relacionados con los octoniones, interpretándose como planos proyectivos sobre OxR, OxC, OxH y OxO. Esto último está relacionado con las fibraciones de Hopf: la esfera S^(2n-1) se puede visualizar como S^n con fibra S^(n-1), para n=1,2,4,8 que son las dimensiones de las álgebras de división normadas. Esta relación no será tratada en el Seminario de Álgebra dado que su naturaleza es más geométrica que algebraica. Lo que es notable es que la existencia de los cinco grupos de Lie excepcionales está íntimamente relaciona con la existencia de los octoniones.

Volviendo al tema del grupo de automorfismos de los octoniones, al ser un grupo de Lie, existe un álgebra de Lie asociada llamada g2 y es el álgebra de derivaciones sobre los octoniones.

Aspiro cubrir los siguientes temas en la charla:
  • Definición y propiedades de los octoniones;
  • El proceso de Cayley-Dickson y una demostración sencilla del Teorema de Hurwitz;
  • Definición del grupo de Lie G2 y del álgebra de Lie g2;
  • Dos caracterizaciones tanto para el álgebra de Lie g2 como para el grupo de Lie G2;

  • Z2xZ2xZ2 como subgrupo de G2.

lunes, 2 de noviembre de 2015

Nulidad de los grafos bicíclicos, será el tema de esta semana

Estimados profesores y estudiantes,

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 
Los esperamos. 


Titulo: "Nulidad de los grafos bicíclicos"
Expositor: Teresa Tesoro
Martes, 03 de noviembre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.


Resumen: 
En esta charla reportaré el avance de un artículo que estoy escribiendo que se intitula Nulidad de los Grafos Bicíclicos, que es un tema de Teoría Espectral de Grafos.

Dado que mi artículo está estrechamente relacionado con el Álgebra Lineal, lo expongo en este Seminario de Álgebra y Teoría de Números.

Un grafo G se define como un par (V,E) donde V es un conjunto de vértices y E un conjunto de pares de vértices (vi, vj), que son los lados del G. Un grafo se representa en el papel como un conjunto de puntos  (los vértices) unidos o no, por líneas  (los lados).

Los grafos que trabajo en este artículo son grafos simples, esto es no tiene lados (vi,vj) con i=j o más de un par (vi,vj), esto es más de un lado uniendo un mismo par de vértices.

Asociada a un grafo G, está la matriz de adyacencia, A= (aij), donde si el grafo es simple aij=1  si en el grafo existe el lado (vi,vj) y aij=0  si no existe el lado (vi, vj).

La nulidad de un grafo G es la dimensión del espacio nulo de su matriz de  adyacencia.

Es un resultado muy conocido de Álgebra Lineal, que si n es el número de filas de una matriz, k el número de filas linealmente independientes y m la dimensión de su espacio nulo, entonces n=k+m. Utilizo este resultado y otro de Teoría Espectral de Grafos, que explicaré en la charla, para calcular la nulidad de un grafo, que es exactamente la nulidad de su matriz de adyacencia.

En mi artículo, calculo la nulidad de todos los grafos bicíclicos, que son grafos con un número n de vértices y un número de lados tales que m=n+1.

Y ustedes se dirán: ¿Y cómo, si hay infinitos grafos bicíclicos?  ¡Ah, vengan a la charla y se enterarán!

lunes, 26 de octubre de 2015

Nueva caracterización de los Z.P.I.-anillos, en el Seminario de esta semana

Estimados profesores y estudiantes,

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 
Los esperamos. 


Titulo: Nueva caracterización de los Z.P.I.-anillos
Expositor: Víctor Ramírez 
Martes, 27 de octubre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.


Resumen: 
Sea R un anillo conmutativo con identidad. Decimos que R es un Z.P.I.-anillo si todo ideal se factoriza como un producto de ideales primos. El objeto de este trabajo es demostrar que R es un Z.P.I.-anillo si, y sólo si R tiene dimensión de Krull igual a 1 y todo ideal principal de R admite una factorización en ideales primos.

Referencia
R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Queen.s Papers Pure Appl. Math. vol.90, Kingston, Ontario,1992


sábado, 17 de octubre de 2015

"Buscando idempotentes en QG usando GAP" será el tema de esta semana

Dado que el martes pasado no se pudo tener la charla de forma regular, por los problemas que tuvimos para llegar a la USB, tendremos la charla de la semana pasada. 
Los esperamos.

Título: "Buscando idempotentes en QG usando GAP".
Expositor: Aurora Olivieri
Martes, 20 de octubre.
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128.
Hora: 12:30 pm.

domingo, 11 de octubre de 2015

Buscando idempotentes en QG usando GAP, el próximo martes

El próximo martes tendré la oportunidad de hablar en el seminario. El título que he elegido para esta charla es "Buscando idempotentes en QG usando GAP".

Expositor: Aurora Olivieri
Martes, 13 de octubre.
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128.
Hora: 12:30 pm.



Resumen:

Se aprovechará los resultados expuestos por el profesor Alberto Mendoza para presentar otros problemas y sus soluciones relacionados con la búsqueda de idempotentes, pero ahora en el álgebra de grupos QG.
Se dará una introducción al paquete wedderga, del sistema GAP, que fue creado para el cálculo de la Descomposición de Wedderburn de un álgebra de grupo. Este paquete fue utilizado en el algoritmo de la tesis de maestría de Ricardo Franquiz para comparar dos métodos de búsqueda de  idempotentes en QG, cuando G es un grupo nilpotente finito, y será el último objetivo de esta charla.

Se hará mención a todos los resultados que utilizaremos en esta charla,  así que no es requisito haber asistido a las anteriores para seguir ésta.

Los esperamos.

sábado, 3 de octubre de 2015

"Grupos finitos y sus representaciones irreducibles" (Segunda parte)

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. En ella, el profesor Alberto Mendoza continuará con su charla sobre "Grupos finitos y sus representaciones irreducibles". Veremos el grupo de simetría del dodecaedro.





El profesor Mendoza ha preparado un archivo del pdf con sus láminas de la primera parte de la charla que pueden descargar en el siguiente link:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/5425642/DeProfMendoza-idemotentes.pdf .

Los esperamos a todos.

Martes, 6 de octubre. 
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.

jueves, 1 de octubre de 2015

Defensa de la Tesis "NÚMEROS CUADRÁTICOS DE MERSENNE"

A todos los interesados. 
Quisiera invitarlos a una defensa de Tesis. Abajo les copio la invitación enviada por la Coordinación de Matemáticas. 
Los esperamos. 

INVITACIÓN


La Coordinación de Matemáticas de la Universidad Simón Bolívar, INVITA a todas aquellas personas interesadas en asistir a la presentación y defensa del 
Trabajo de Grado de Maestría en Matemáticas:

"NÚMEROS CUADRÁTICOS DE MERSENNE"


Candidato:
Euro Lucena.

Tutor Académico:
Prof. Pedro Berrizbeitia.

  

Fecha: Viernes 2 de octubre 2015
Hora: 9:30 a. m.
Lugar: Sala Mischa Cotlar,  MYS 128

lunes, 28 de septiembre de 2015

Semana 4

Estimados profesores y estudiantes, 


Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. En esta ocasión  tendremos al profesor Alberto Mendoza, que hablará sobre "Grupos finitos y sus representaciones irreducibles". 


Martes, 29 de septiembre. 
Hora: 12:30 pm.
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Edificio de Matemáticas y Sistemas. 
Universidad Simón Bolívar.


Nos vemos el martes.

Bienvenidos al blog del Seminario

El seminario de Álgebra y Teoría de Números es una actividad académica periódica que aglutina a los miembros del grupo de investigación "Algoritmos para matemáticas discretas" (GID-24) de la Universidad Simón Bolívar y ha sido central en la formación de los estudiantes de pregrado y postgrado en Matemáticas que se han interesado en estas áreas. 

Sus reuniones son semanales siguiendo el calendario académico de la universidad y se realizan generalmente en la Sala de Coloquios y Seminario del Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas, Sala Mischa Cotlar, en el edificio de Matemáticas y Sistemas, primer piso, oficina 128. 

La idea original de este seminario es del profesor Pedro Berrizbeitia y quién lo ha dirigido por más de 15 años. El nombre original era Seminario de Teoría de Números y se ocupaba en sus inicios sobre temas de primalidad. Si bien la primalidad ha sido el tema principal, las leyes de reciprocidad también ha sido un tema estudiado en más de una ocasión.  


En el año 2004, cambió su nombre al actual y desarrolla los intereses de la investigación de estas áreas que se realiza en nuestro departamento. 

En los últimos 5 años, el profesor Berrizbeitia ha alternado su organización con la profesora Olivieri, hasta que en el año 2013 la delegó en la profesora.