Los Octoniones: Otro fascinante objeto con el cual el álgebra y la geometría se dan la mano.

Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana. 

Los esperamos. 

Titulo: Los Octoniones: Otro fascinante objeto con el cual el álgebra y la geometría se dan la mano.

Expositor: Jean Pierre Veiro 

Martes, 10 de noviembre. 

Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128. 
Hora: 12:30 pm.

Introducción a la charla: 

Los Octoniones: Otro fascinante objeto con el cual el álgebra y la geometría se dan la mano.

Las álgebras de división normadas son un concepto relativamente reciente en la literatura matemática. En el año 1843, un acto célebre de vandalismo matemático tuvo lugar en Dublin cuando William Hamilton talló en un puente las relaciones fundamentales que determinan los elementos de la base para los cuaterniones. Ellas son i^2=j^2=k^2=-1 e ijk=-1. Pocos meses después, John Graves, amigo cercano de Hamilton, descubrió que la estructura algebraica obtenida en los cuaterniones se podía generalizar a un álgebra con ocho elementos en su base; llamada por él “octaves”. Mientras Graves esperaba a que sus resultados fueran publicados, en 1845, Arthur Cayley publicó un artículo titulado “On Jacobi’s elliptic functions” donde incluyó en el apéndice una descripción de los octoniones. Por esta razón, durante mucho tiempo, el álgebra en cuestión se ha conocido como los números de Cayley. Sin embargo, el tiempo ha honrado, gracias a una nota enviada por Hamilton, el descubrimiento de Graves y ahora llamamos a esta álgebra por su nombre original: los octoniones.

Los octoniones son un álgebra de división normada, sobre los reales, de dimensión ocho. El notable Teorema de Hurwitz establece que las únicas álgebras de división normadas (sobre los números reales), salvo isomorfismo, son: los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones. Una propiedad notable de los octoniones es que, además de no ser conmutativos, tampoco son asociativos.

Existe un proceso que toma un álgebra y genera otra álgebra nueva cuya dimensión es el doble de la anterior; este proceso es conocido como el proceso de Cayley-Dickson. Considerando este proceso, se puede dar una demostración sencilla del Teorema de Hurwitz.

El estado del arte en la física de altas energías, principalmente en la teoría de supermembranas, gira en torno a su deseada formulación en términos de octoniones. La verdad es que los octoniones aparecieron en este escenario indirectamente. La estrella principal, aunque está íntimamente relacionada con los octoniones, es el grupo de Lie G2. Es conocida la clasificación de los grupos de Lie (simples) en cuatro familias y, de manera sorprendente, cinco grupos de Lie excepcionales. G2, el grupo de Lie excepcional más pequeño, es el grupo de automorfismos de los octoniones. Más aún, los otros cuatro grupos de Lie excepcionales también están relacionados con los octoniones, interpretándose como planos proyectivos sobre OxR, OxC, OxH y OxO. Esto último está relacionado con las fibraciones de Hopf: la esfera S^(2n-1) se puede visualizar como S^n con fibra S^(n-1), para n=1,2,4,8 que son las dimensiones de las álgebras de división normadas. Esta relación no será tratada en el Seminario de Álgebra dado que su naturaleza es más geométrica que algebraica. Lo que es notable es que la existencia de los cinco grupos de Lie excepcionales está íntimamente relaciona con la existencia de los octoniones.

Volviendo al tema del grupo de automorfismos de los octoniones, al ser un grupo de Lie, existe un álgebra de Lie asociada llamada g2 y es el álgebra de derivaciones sobre los octoniones.

Aspiro cubrir los siguientes temas en la charla:

• Definición y propiedades de los octoniones;
• El proceso de Cayley-Dickson y una demostración sencilla del Teorema de Hurwitz;
• Definición del grupo de Lie G2 y del álgebra de Lie g2;
• Dos caracterizaciones tanto para el álgebra de Lie g2 como para el grupo de Lie G2;
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• Z2xZ2xZ2 como subgrupo de G2.