Estimados profesores y estudiantes,
Tengo el gusto de invitarlos a la charla del seminario de álgebra y teoría de números de esta semana.
Los esperamos.
Título: Propiedades aditivas de grupos multiplicativos de índice finito en cuerpos
Expositor: Pedro Berrizbeitia
Martes, 08 de diciembre.
Lugar: Sala Mischa Cotlar, MYS 128.
Hora: 12:30 pm.
Resumen:
Sea 
un entero. Con la excepción de a lo sumo un número finito de primos 
, la ecuación 
tiene soluciones enteras 
y 
para todo entero 
. Este problema es uno clásico de la Teoría de Números. De hecho, si denotamos por 
al número de soluciones 
de la ecuación, entonces 
.
un entero. Con la excepción de a lo sumo un número finito de primos , la ecuación tiene soluciones enteras y para todo entero . Este problema es uno clásico de la Teoría de Números. De hecho, si denotamos por al número de soluciones de la ecuación, entonces .
El problema análogo para cuerpos infinitos o más generales es el siguiente: Sea 
un grupo multiplicativo de índice finito in 
, el grupo de los elementos invertibles del cuerpo 
, entonces, como es el conjunto 
, el conjunto de todas las posibles sumas de dos elementos de ? En particular, cuando se cumple que 
?
un grupo multiplicativo de índice finito in , el grupo de los elementos invertibles del cuerpo , entonces, como es el conjunto , el conjunto de todas las posibles sumas de dos elementos de ? En particular, cuando se cumple que ?
La primera publicación sobre el tema apareció en 1989, cuando Leep y Shapiro dieron una respuesta positiva a la pregunta cuando el índice de in es 3. Esto es, probaron que 
, excepto por una corta lista de cuerpos finitos excepcionales. Conjeturaron que el resultado era cierto en el caso de índice 5. Admitieron no poder demostrarlo ni siquiera para el caso de 
, el cuerpo de los números racionales.
in es 3. Esto es, probaron que , excepto por una corta lista de cuerpos finitos excepcionales. Conjeturaron que el resultado era cierto en el caso de índice 5. Admitieron no poder demostrarlo ni siquiera para el caso de , el cuerpo de los números racionales.
En la charla probaremos que si tiene índice finito en 
, entonces 
, es decir, que todo racional puede escribirse como la diferencia de dos elementos de . La demostración es una hermosa aplicación del Teorema de Van de Waerden de la progresión aritmética, que enunciaremos sin demostración.
tiene índice finito en , entonces , es decir, que todo racional puede escribirse como la diferencia de dos elementos de . La demostración es una hermosa aplicación del Teorema de Van de Waerden de la progresión aritmética, que enunciaremos sin demostración.
Resultados más generales de la Teoría de Ramsey permiten probar el mismo resultado para cualquier cuerpo infinito, y hasta para cierto tipo de anillos. Discutiremos brevemente estos resultados más generales y sus consecuencias.
También discutiremos el comportamiento de 
, de 
, etc. De hecho, daremos un esquema de la solución de una conjetura propuesta en 1992 por Bergelson y Shapiro, sobre un problema aditivo "extremal", y explicaremos un resultado de Florian Luca sobre el comportamiento de 
, para una sucesión especifíca de subgrupos de índice 
.
, de , etc. De hecho, daremos un esquema de la solución de una conjetura propuesta en 1992 por Bergelson y Shapiro, sobre un problema aditivo "extremal", y explicaremos un resultado de Florian Luca sobre el comportamiento de , para una sucesión especifíca de subgrupos de índice .
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